《智能驾驶之激光雷达算法详解》 数学基础之空间变换

在深入探讨传感器标定、定位与建图算法的旅途中，坐标系的空间变换是不可或缺的基石。本章旨在奠定这一基础，聚焦于坐标系欧氏变换的数学精髓。如图2-1（a）所展现，激光雷达外参标定的核心，即求解激光雷达坐标系与车体坐标系间的姿态与位置关系。而图2-1（b）中的车辆定位，则聚焦于车体坐标系在世界参考坐标系中的动态变化，具体表现为相对位置T与姿态变化T的求解。此二者间的位置与姿态变迁，共同编织了欧氏变换的宏伟图景。姿态，作为坐标轴间旋转或方向关系的精准刻画；相对位置，则直观展现了坐标原点间的平移轨迹。两者相辅相成，共同构建了坐标变换的完整框架。

                               
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旋转矩阵是用来描述两个坐标系之间仅有相对旋转的情况。点P在坐标系1和坐标系2下的三维向量可以用向量表示。矩阵R描述了两个坐标系之间的旋转关系，也称为旋转矩阵或方向余弦矩阵。旋转矩阵是行列式为1的正交阵，满足RTR=RRT=E。通过转置矩阵可以得到旋转矩阵的逆矩阵。物体相对于坐标轴的旋转和坐标轴相对于物体的等角度反向旋转在描述上是等效的。齐次变换矩阵考虑了旋转和平移的情况。使用旋转矩阵表示旋转和姿态时，需要9个变量，但旋转本身只有3个自由度。欧拉角表示空间旋转，根据不同轴顺序有多种形式，如RPY角形式。RPY角描述了绕x、y、z轴的旋转顺序。根据固定或运动坐标系不同，旋转结果也会不同。通过依次旋转每个坐标系得到总的姿态变换。欧拉角描述的空间旋转与转动顺序强相关，三个分量不具有互换性。在求解欧拉角RPY的逆变换时，需按相反旋转顺序反转相应角度。连续旋转操作不能简单相加描述。当俯仰角pitch=±90°时，欧拉角描述的旋转存在奇异性，滚动角和偏航角无法区分，出现万向锁现象。工程人员通常不使用欧拉角表示较大旋转变换。旋转的轴角表示使用旋转轴和角度描述空间旋转或姿态，紧凑表达，转换关系为R=cosθE+(I-cosθ)nnT+sinθn'。
        四元数是空间旋转的另一种表示形式，具体表示为Q = g0 + qi + q2j + q3k。其中g0为实部，q1、q2和q3为虚部。四元数分为虚四元数和实四元数。i、j和k是虚数单位，分别对应坐标系的三个轴。
        李群和李代数基础是为了简化位姿估计相关的求解过程。李群是一个群，同时也是一个D维空间的流形，其群乘积和取逆操作都是平滑函数。李代数是李群上切空间的代数结构，可以用来描述李群的局部性质。李代数，这一代数结构，由集合V、数域区及李括号运算[,]共同定义，形式化为(V,E,[,])，它描绘了装备了李括号运算的线性空间。其定义严格遵循以下准则：封闭性/分配律/自反性/反对称性/雅克比恒等式。
        李括号运算，作为线性空间中的广义向量运算，不仅适用于实向量空间，亦涵盖复数空间与对偶空间。在三维实空间R³中，向量的叉乘即为其李括号运算的实例。李代数的重要性在于其能深刻反映李群的局部特性，两者间通过对数映射与指数映射紧密相连，形成双射关系。具体而言，李代数可视为李群在幺元处的切空间，精准捕捉李群的局部结构。这一映射关系使我们能够将流形空间中的问题转化为线性空间中的李代数结构，从而利用线性空间中的模型与算法进行求解。